Discutindo o possível e as pseudonecessidades na análise combinatória
Brunna S. Stock
A análise combinatória é um ramo da Matemática que estuda coleções finitas de objetos, bem como as possibilidades e as combinações possíveis de serem feitas com eles. Quantas maneiras diferentes existem para organizar quatro pessoas em fila? E para organizar uma comissão com cinco alunos selecionados de uma turma com 30 estudantes? Se um concurso tem 100 candidatos, qual é o total de possibilidades para os três primeiros lugares? Todos esses exemplos podem ser vistos como problemas de análise combinatória.
Saber utilizar as propriedades e condições dos problemas de análise combinatória – e as dificuldades provenientes dela tem relação com os conceitos piagetianos apresentados na leitura de O possível e o necessário (PIAGET, 1985,1986).
Piaget entende o possível essencialmente como invenção e criação (1985) e ressalta que tanto o possível quanto o necessário são produtos das atividades do sujeito. O autor complementa que:
Com efeito, o possível não é algo observável, mas o produto de uma construção do sujeito, em interação com as propriedades do objeto, mas inserindo-as em interpretações devidas às atividades do sujeito, atividades essas que determinam, simultaneamente, a abertura de possíveis cada vez mais numerosos, cujas interpretações são cada vez mais ricas (PIAGET, 1985, p. 7).
Assim como o possível, o necessário não é um observável, mas sim um produto das composições inferenciais do sujeito (PIAGET, 1986). O necessário constitui a riqueza das integrações como reunião de qualidades distintas em um todo, ao passo que o possível exprime as diferenciações destas qualidades.
Desta forma, vamos observar o exemplo de uma questão: “Manuela quer pintar as quatro paredes de seu quarto usando as cores azul, rosa, verde e branco, cada parede de uma cor diferente. Ela não quer que as paredes azul e rosa fiquem de frente uma para a outra. De quantas maneiras diferentes ela pode pintar seu quarto?”1. Podemos fazer uma analogia com o possível e o necessário na resolução deste problema. Começamos com o total de possibilidades: quais são todas as formas de colorir essas paredes? Contudo, também temos que refletir sobre as restrições presentes nesse contexto, que seria a quantidade de cores e a condição do problema, que é de as paredes azul e rosa não poder ficar uma de frente para a outra.
Podemos interpretar os possíveis nesta questão como o universo de possibilidades para se pintar o quarto de Manuela usando as quatro cores dadas: a parede azul poderia ficar de frente para a parede branca, rosa ou verde, o que dá um total de 24 maneiras de pintar o quarto. Podemos interpretar, então, a limitação parede azul não pode ficar de frente para parede rosa como uma necessidade do problema, que reduz o total de possibilidades a 16.
É notável a importância desta interpretação para resolução de problemas de análise combinatória, onde nem sempre há formulas e equações que conduzam a resposta correta: no exemplo acima, poder-se-ia pensar em uma permutação de quatro elementos, porém é preciso inserir a limitação do problema nesta resolução (com uma subtração dos casos que não servem – azul de frente para rosa – ou separando a resolução nos casos que servem para a resposta). Independente da forma de resolução é necessária a coordenação do possível e do necessário para inserir esse problema dentro de um contexto e, a partir daí, resolvê-lo utilizando propriedades características da análise combinatória ou raciocínio lógico.
Cabe trazer nossa experiência em docência que ressalta a análise combinatória como um dos tópicos do Ensino Médio que gera amplas discussões entre os estudantes e que é considerado por eles um dos mais difíceis. Pensamos que estabelecer essa relação entre o possível e o necessário e esta área da Matemática pode ser positiva para ensino da análise combinatória: como vimos no exemplo anterior, o possível e o necessário estão presentes na resolução de problemas e podem contribuir para a interpretação das questões. Não obstante, com a contribuição da teoria piagetiana, o professor possui elementos para analisar a resolução feita por seus alunos, e, assim, compreender e procurar corrigir as dúvidas dos estudantes.
1Questão proveniente da prova para nível 1 da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) de 2007, isto é, alunos de 6° e 7° anos do Ensino Fundamental.